SEZIONE APPUNTI ED ESERCIZI
PRIMA SUPERIORE
Operazioni con i monomi
Esercizi di riepilogo sui monomi. Sono espressioni che contengono tutte le operazioni con i monomi, dalla potenza alla moltiplicazione e divisione finendo con la somma algebrica di monomi. Presentano qualche difficoltà legata al fatto che negli esponenti, non sono presenti solo numeri ma anche lettere. Niente paura! Basta applicare “rigidamente” le regole sui monomi e sulle operazioni con i monomi e il gioco è fatto (riesci a considerare le lettere presenti negli esponenti come se fossero numeri?)
Ripasso equazioni e mcm
Prima di risolvere le due equazioni di primo grado nelle quali sono presenti dei prodotti notevoli, come vedi, è presente un ripasso sul minimo comune multiplo tra numeri. E’ evidente che nei due esercizi che seguono non serve in quanto si tratta di equazioni di primo grado intere con coefficienti interi. Evidentemente la persona a cui stavo spiegando le equazioni, aveva bisogno di un ripasso anche del minimo comune multiplo tra numeri. Per quanto riguarda le equazioni algebriche di primo grado che seguono, c’è da dire questo: prima di tutto bisogna svolgere tutti i prodotti tra polinomi e tra monomi e polinomi. Non tutti i prodotti presenti sono prodotti notevoli. Una volta fatti questi prodotti, si portano le x al primo membro e i numeri senza la x (coefficienti numerici) al secondo membro. Sommati i termini simili in entrambi i membri, si dividono questi ultimi per il coefficiente della x e si arriva così alla soluzione dell’equazione
Disequazioni di primo grado
In questo foglio, come puoi notare, ho risolto alcune disequazioni algebriche di primo grado di base, ma così di base che più di base non si può. Sicuramente erano per una persona con qualche lacuna non solo sulle disequazioni di primo grado ma anche sulle equazioni probabilmente. Non c’è molto da dire. Ho spiegato che bisogna svolgere i calcoli e se il coefficiente della x è negativo si cambia il verso e si invertono i segni. Nel grafico: se il coefficiente della x è positivo si scrivono i segni più a destra e i segni meno a sinistra e viceversa se il coefficiente della x è negativo si scrivono i segni più a sinistra e i meno a destra.
Cubo di un binomio
Questo, più che un esercizio, è la spiegazione del cubo di un binomio con tanto di esempi. Per svolgere il cubo di un binomio, è quindi necessario svolgere i cubi delle due basi e calcolare i due tripli prodotti. Questi ultimi si determinano come riportato nel foglio (parte alta)
Equazioni di 1° grado letterali
In questo esercizio ho risolto un’equazione letterale e ho concluso con la discussione. Per risolvere questa equazione ho svolto i calcoli e ho portato le x al primo membro. I termini senza la x li ho portati al secondo membro. Al primo membro, ho messo in evidenza la x. In questo modo ho potuto “leggere” qual era il suo coefficiente. Come al solito, ho diviso primo e secondo membro per questo coefficiente. Attenzione alla discussione. Per farla bene, dobbiamo analizzare il denominatore (prima di eventuali semplificazioni) e vedere quali sono i valori che lo annullano. Una volta trovati tali valori, dobbiamo sostituirli nella soluzione stessa e vedere se perveniamo a una soluzione determinata, indeterminata o impossibile.
Frazioni algebriche: espressioni
Espressione con frazioni algebriche. Non ci sono calcoli da fare dentro le parentesi tonde (salvo qualche scomposizione). Per questo ho svolto i calcoli dentro le parentesi quadre. Dentro queste ultime, c’è una somma algebrica di frazioni perciò si scompongono i denominatori delle frazioni presenti in queste parentesi quadre al fine di calcolare il minimo comune multiplo. Il numeratore, in una somma algebrica tra frazioni, non si scompone quasi mai, a meno che non ci accorgiamo che si può effettuare una semplificazione immediata come nel caso della seconda frazione presente nelle parentesi quadre. Fatto il minimo comune multiplo, ho potuto ultimare i calcoli nelle quadre. Ho infine effettuato la divisione tra la frazione risultante e quella fuori dalle parentesi. Attenzione: nelle moltiplicazioni e divisioni tra frazioni è invece opportuno scomporre sia il numeratore che il denominatore per poi effettuare eventuali semplificazioni (come nell’esempio)
Sistemi di disequazioni di 1° grado
Sistema di disequazioni a due. Sono entrambe disequazioni di primo grado. Ce ne accorgiamo una volta effettuati i calcoli e ricondotto in forma semplice le singole disequazioni. Risolte queste ultime, si deve obbligatoriamente tracciare il grafico del sistema (quello con linee continue per intenderci). Il sistema è verificato in quegli intervalli in cui si sovrappongono tante linee quante sono le disequazioni del sistema (in questi caso le linee sono due e l’intervallo-soluzione è solo uno)
Raccoglimento totale e parziale
Scomposizione in fattori. Nel primo esercizio ho effettuato, prima di tutto, il raccoglimento totale mettendo in evidenza la x. Dentro le parentesi tonde ho ottenuto un trinomio che ho scomposto come quadrato di un binomio. Poichè la “base” di tale quadrato è un binomio differenza di due quadrati, ho ulteriormente scomposto con la somma per differenza delle basi dei due quadrati. Anche nel secondo esercizio ho fatto il raccoglimento totale. All’interno delle parentesi ho ottenuto un quadrinomio cubo di un binomio (che ho scomposto). Nel terzo esercizio ho scomposto facendo il raccoglimento parziale. Nel secondo binomio della scomposizione, ho ottenuto una differenza di quadrati. Infine, nell’ultimo esercizio, ho applicato il procedimento di scomposizione di un trinomio notevole (o trinomio di secondo grado o trinomio caratteristico) anche se al posto di a² era presente a⁶ e al posto di a era presente a³. Il primo dei due binomi ottenuti con la scomposizione, l’ho scomposto come differenza di due cubi
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