SEZIONE APPUNTI ED ESERCIZI
QUARTA SUPERIORE
Identità goniometrica con formule
In questo esercizio bisognava dimostrare, o meglio, verificare l’uguaglianza tra i due membri dell’espressione (identità). Ho verificato che si tratta di un’identità applicando alcune formule e svolgendo alcuni calcoli. Le formule che ho applicato sono: duplicazione del seno e del coseno e le formule di addizione per la tangente.
Tg, ctg e formula fondamentale
Definizione di tangente, cotangente e dimostrazione della formula fondamentale della trigonometria. Questo il contenuto degli appunti qui sopra.
Identità con formule goniometriche
Nella pagina qua sopra sono presenti tre esercizi. nel primo sono presenti le formule sugli angoli associati e quelle di duplicazione. Nel secondo e nel terzo abbiamo le formule di addizione e sottrazione. In tutti gli esercizi, una volta applicate le formule, bisogna effettuare le somme dei termini simili
Esercizio sulle formule di addizione e sottrazione
L’esercizio qui sopra è un esercizio in cui ho applicato le formule di addizione e sottrazione. Come vedi però, era presente il quadrato (nella prima funzione goniometrica). Non importa! Per risolvere l’esercizio, basta applicare normalmente la formula e poi elevare tutto al quadrato (quadrato di un binomio). Attenzione! Lo sviluppo della formula di addizione e sottrazione, devi lasciarlo tra parentesi (per poi sviluppare la potenza). Applicate le varie formule di addizione e sottrazione, ho sommato i termini simili. Ah…un’altra cosa: ho riportato come si calcolano il sen240° e il cos240°, qualora non lo ricordassi più!
Esercizi svolti sugli Angoli associati (identità)
In questo esercizio c’era da risolvere un’equazione lineare (goniometrica). Per risolverla ho utilizzato le formule parametriche, quelle che ci permettono di ricavare seno e coseno in funzione di tangente di α/2 (metodo classico)
Esercizio sulle equazioni esponenziali
Semplici esercizi sulle disequazioni esponenziali. Possiamo definirli esercizi di base sulle disequazioni esponenziali. Come riportato nell’esercizio, ricorda che se la base è minore di 1, quando la elimini, devi cambiare il verso. Nel secondo esercizio, dalla disequazione esponenziale è scaturita una disequazione fratta. Non dimenticare che questo tipo di disequazioni richiedono lo studio del segno e che quindi il denominatore non si può eliminare.
Risoluzione triangoli qualunque
Problema sui triangoli qualunque. Ci chiede di determinare Area e Perimetro di un triangolo qualunque conoscendo uno dei lati e il seno di due dei suoi angoli. Grazie al teorema dei seni ho determinato il lato a. Poi, attraverso la formula fondamentale della trigonometria, ho trovato il coseno di due degli angoli. La somma degli angoli interni di un triangolo è 180°. Questa proprietà mi ha permesso di ricavare il seno del terzo angolo (dopo aver applicato le formule di addizione e sottrazione). Infine, applicando nuovamente il teorema dei seno ho ricavato l’angolo mancante. Per trovare l’area ho utilizzato la formula per trovare l’area di un triangolo noti due suoi lati e l’angolo tra essi compreso.
Equazioni goniometriche lineari
In questo esercizio c’era da risolvere un’equazione lineare (goniometrica). Per risolverla ho utilizzato le formule parametriche, quelle che ci permettono di ricavare seno e coseno in funzione di tangente di α/2 (metodo classico)
Disequazioni logaritmiche (esercizi)
Disequazione logaritmica. Ho preferito isolare i due logaritmi. Grazie alle proprietà dei logaritmi, sono riuscito ad avere un unico logaritmo da una parte e uno dall’altra (in modo poi da poterli eliminare entrambi). Ho moltiplicato il -2 per 1. Hai notato? L’1 l’ho espresso come logaritmo in base 3 di 3 (un logaritmo che ha base e argomento uguali è uguale a 1). Una volta ricondotta l’equazione nella forma più semplice possibile (un logaritmo al primo membro e uno al secondo), ho eliminato i logaritmi e la disequazione è diventata algebrica. Perchè il sistema? Perchè nelle disequazioni logaritmiche, si devono imporre anche le condizioni di esistenza (argomento del logaritmo maggiore di zero).
Esercizi sulle equazioni esponenziali
Nel foglio di appunti qui sopra, ho risolto due equazioni esponenziali di due tipi diversi. Nella prima ho applicato le proprietà delle potenze in un “senso”, nella seconda nell’altro. Infatti, nella prima avevamo delle potenze che avevano come esponente una somma o una differenza di esponenti. Queste potenze le ho scritte come prodotto o quoziente di potenze con la stessa base (ovviamente). Nella seconda invece, avevo prodotti e quozienti di potenze con la stessa base e le ho “raccolte” in un’unica potenza sia al primo che al secondo membro. Uguagliate le basi delle potenze nei due membri, le basi si eliminano uguagliando gli esponenti. L’equazione da esponenziale è diventata algebrica ed è di facile soluzione (equazione di secondo grado completa).
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