SEZIONE APPUNTI ED ESERCIZI

QUINTA SUPERIORE

Esercizi sulla verifica di un limite

In questi esercizi, dobbiamo verificare due limiti. Nel primo dobbiamo dimostrare che effettivamente il limite, per x che tende a 1 da destra, diverge a + infinito (o che dà infinito). Per farlo dobbiamo imporre f(x) maggiore di un numero grande quanto si vuole (M) e dimostrare che questo succede in un intorno destro di 1. Dire che f(x) è maggiore di un numero grande quanto si vuole è come dire che tende a +infinito. Svolgendo la disequazione che scaturisce dalla condizione, si nota che la soluzione è proprio un intervallo destro di 1 e quindi il limite è dimostrato. Nel secondo limite, in modo del tutto analogo, dobbiamo dimostrare che il limite diverge a – infinito quando la x tende a 2 da sinistra. In questo secondo caso bisogna imporre f(x) minore di -M essendo sempre M un numero grande quanto si vuole. Anche in questo caso, come si vede dall’esercizio, il limite è verificato.

In questo limite la x tende ad un valore finito (2) e il limite dà un risultato finito (3). Ciò significa che funzione e limite devono avere “quasi” lo stesso valore quando la x tende a 2. Cioè, più la x si avvicina a 2 e più la f(x) si avvicina a 3 (questo è quello che si deve dimostrare). Per esprimere il concetto di “quasi” l’escamotage è il seguente: si dice che la f(x) e il valore del limite differiscono tra loro di un numero piccolo a piacere denominato ɛ. Si scrive cioè f(x)-l (in valore assoluto) minore di ɛ. Se questo accade in corrispondenza dell’intorno di 2 (per la x) il limite è verificato (e dall’esercizio lo puoi facilmente verificare)

Limite in forma indeterminata

Questo qui a sinistra è un limite che si presenta in forma indeterminata. Sostituendo 2 alla x si ottiene infatti la forma 0/0. Per risolvere questo tipo di limite bisogna scomporre numeratore e denominatore con i metodi “classici”: raccoglimento totale, parziale, con i prodotti notevoli o con la regola di Ruffini. In questo caso però, essendo presente una radice al denominatore, si è reso necessario anche razionalizzare il denominatore. Nota bene che a volte può essere utile razionalizzare il numeratore al fine di scrivere in maniera diversa la funzione. Una volta effettuata la razionalizzazione e una volta effettuato il raccoglimento totale al numeratore, è stato possibile semplificare il binomio x-2 (“responsabile” dell’indeterminazione). Fatta la semplificazione è facile notare che il limite non è più in forma indeterminata. Infatti sostituendo 2 alla x si vede facilmente che il risultato del limite è 8. Attenzione. Se non si effettua nessuna SEMPLIFICAZIONE il limite continuerà ad essere in forma indeterminata. Non basta quindi scomporre, occorre necessariamente SEMPLIFICARE. 

Esercizio sullo studio di funzione

La funzione che ho studiato in questo esercizio, è una funzione esponenziale. Le funzioni esponenziali sono quelle funzioni in cui la x compare almeno in uno degli esponenti. Secondo me, per certi versi, sono più facili perchè una funzione esponenziale è sempre positiva, mai uguale a zero e anche la derivata, tutto sommato, la trovo semplice. Poi è chiaro, dipende dalla funzione che si ha! In questo caso, la funzione esponenziale assegnata, ammette un asintoto orizzontale destro (capita spesso che una funzione esponenziale ammetta un asintoto orizzontale destro o sinistro) e nessun asintoto verticale. Ha un massimo relativo nel punto (0;1) che coincide con l’intersezione con l’asse delle y, ha un flesso di ascissa 1 ed è positiva per x>-1. Non è pari nè dispari, ossia, non è simmetrica nè rispetto all’asse y nè rispetto all’origine

Esercizio sullo studio di funzione

In questo esercizio, ho svolto uno studio di funzione. Si tratta di una funzione razionale fratta. Come in tutti gli esercizi di questo tipo, dopo aver individuato il tipo di funzione ho determinato il campo di esistenza, le intersezioni con gli assi, ho effettuato lo studio del segno (positività), gli asintoti verticali e, una volta riscontrato che la funzione non possiede asintoto orizzontale, ho cercato quello obliquo (trovandolo). Attenzione: se una funzione non possiede asintoti orizzontali, si cercano quelli obliqui ma non è detto che ci siano! Ho determinato inoltre massimi e minimi relativi e ho cercato gli eventuali punti di flesso. Questa funzione non presenta punti di flesso. Una volta trovati tutti i dati necessari ho tracciato il grafico della funzione.

Esercizio sugli asintoti

Semplice esercizio sulla determinazione degli asintoti verticali e orizzontali di una funzione (in realtà la funzione assegnata ammette un solo asintoto orizzontale e un solo asintoto verticale). Per trovare l’asintoto verticale ho determinato il campo di esistenza e ho calcolato il limite per x tendente al valore escluso dal campo di esistenza (x=2). Poiché tale limite ha dato infinito, ho concluso scrivendo che la retta x=2 è un asintoto verticale per la funzione assegnata. Per quanto riguarda l’asintoto orizzontale, ho potuto affermare che la retta y=1 è un asintoto orizzontale perché il limite per x che tende a infinito, ha dato come risultato il valore finito 1. Ecco perché la retta y=1 è un asintoto orizzontale

Esercizio sugli asintoti

Esercizio sulla determinazione dell’asintoto obliquo. Come ho scritto nell’esercizio, si cerca l’asintoto obliquo se la funzione non ammette asintoto orizzontale, cosa che si è verificata nell’esercizio. Per determinare l’asintoto obliquo, si scrive l’equazione generica della retta y=mx+q e si determinano i coefficienti m e q con le formule che ho riportato nell’esercizio stesso. E’ chiaro che m deve essere diversa da 0 (zero), altrimenti sarebbe una retta parallela all’asse x e quindi sarebbe un asintoto  orizzontale che però la funzione non ammette. In questa ipotesi la q darebbe comunque infinito e quindi non sarebbe accettabile. La m non può nemmeno dare un valore infinito (deve avere infatti un valore reale). Quindi i due limiti che servono per determinare la m e la q dell’asintoto obliquo, devono esistere e dare un valore finito. 

Esercizio sugli integrali indefiniti

Il primo passaggio per risolvere questo integrale è stato scrivere la funzione integranda come differenza di due frazioni che hanno stesso denominatore di quella originaria e come numeratori, gli addendi del numeratore della frazione originaria. Questo mi ha permesso di scindere anche l’integrale iniziale. Il primo integrale l’ho calcolato riconducendolo all’integrale immediato di una funzione composta (ho moltiplicato e diviso per 2, ecco perché c’è 1/2 davanti all’integrale). Il secondo integrale l’ho calcolato con il metodo di sostituzione. Ricorda, che occorre sempre calcolare (o sostituire se preferisci) anche il dx.

Regola di De L'hopital

In questo esercizio ho risolto due limiti in forma indeterminata. Il primo con De L’Hospital (ho prima dovuto ricondurlo a una delle forme indeterminate in cui è possibile applicare De L’Hospital). Ho perciò derivato alcune volte numeratore e denominatore separatamente. Ho dovuto derivare più di una volta numeratore e denominatore (sempre separatamente) perché il limite continuava a rimanere in forma indeterminata. Il secondo limite presentava una forma indeterminata del tipo 0/0 (zero su zero). Per risolvere questa indeterminazione, ho scomposto numeratore e denominatore e ho semplificato i termini simili. Una volta effettuata la semplificazione, ho sostituito nuovamente alla x il valore a cui tende (2) e sono pervenuto alla soluzione

Esercizio sul Campo di esistenza di una funzione

Il testo chiede di determinare il campo di esistenza di una funzione assegnata. In questa funzione è presente una radice quadrata e un logaritmo. Per determinare il campo di esistenza ho perciò dovuto imporre due condizioni: radicando maggiore o uguale a zero e argomento del logaritmo maggiore di zero. Le ho messe a sistema perché queste due condizioni devono essere valide contemporaneamente. Il campo di esistenza è dato dalla soluzione di questo sistema, rappresentata dagli intervalli in cui si sovrappongono tante linee quante sono le equazioni del sistema (in questo caso in realtà l’intervallo è solo uno)

Esercizio sulle derivate di funzioni composte

Esercizi sulle regole di derivazione. Si tratta di derivate di funzioni composte. Nel primo addendo del primo esercizio ho derivato nell’ordine: radice cubica, logaritmo e argomento del logaritmo, moltiplicando tra loro tali derivate. Nel secondo addendo, sempre del primo esercizio, ho derivato la potenza del seno portando l’esponente davanti al seno e riscrivendo il seno con un esponente inferiore di 1 rispetto all’esponente iniziale. Ho poi moltiplicato tale derivata per la derivata del seno e per la derivata del polinomio x²+3 che rappresenta l’argomento del seno. Nel secondo esercizio ho derivato la radice quadrata e ho moltiplicato tale derivata per la derivata dell’argomento che è una frazione, quindi ho applicato la regola che si usa per derivare un rapporto

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