SEZIONE APPUNTI ED ESERCIZI
SECONDA SUPERIORE
Equazioni di secondo grado
Questi qui sopra sono due esercizi oggettivamente semplici sulle equazioni di secondo grado. In entrambi i casi sono presenti dei prodotti notevoli che occorre svolgere prima di arrivare all’equazione di secondo grado nella sua forma base. Solo una volta fatti i calcoli ci si può rendere conto di che tipo di equazione si tratta: si tratta di due equazioni di secondo grado complete che si risolvono con l’ausilio della formula risolutiva. Nel primo esercizio ho applicato la formula risolutiva ridotta in quanto la “b” è pari, nel secondo caso ho utilizzato la formula risolutiva completa.
Disequazioni di secondo grado
Ecco due disequazioni di secondo grado. La prima rappresenta un caso particolare in quanto il delta è uguale a 0. E’ vero, il delta non è stato calcolato, ma il fatto che l’equazione associata ammetta un’unica soluzione (o due soluzioni reali e coincidenti, se preferisci), ci fa capire che si tratta appunto di un’equazione di secondo grado con delta uguale a 0. Come si vede dall’esercizio svolto, la prima disequazione è sempre verificata da qualunque valore di x diverso da -1.
Disequazioni di grado superiore a 2
Per risolvere le disequazioni algebriche di grado superiore al secondo, è necessario scomporre il polinomio ed effettuare lo studio del segno esattamente come avviene nelle disequazioni fratte. Per questo nell’esercizio qui sopra ho applicato il teorema di Ruffini e poi ho studiato separatamente i due fattori (per poi fare, come detto, lo studio del segno)
Sistemi lineare con confronto
Sistema lineare risolto con il metodo del confronto (che a me piace poco devo dire). Prima di arrivare al sistema ridotto ai minimi termini, al sistema base intendo, ho dovuto svolgere un pò di calcoli. Il sistema iniziale infatti era un sistema con equazioni fratte (le incognite compaiono a denominatore in entrambe le equazioni) e quindi ho dovuto calcolare il minimo comune multiplo, imporre le condizioni e così via. Mi raccomando, verifica sempre se le soluzioni sono accettabili, se sono cioè compatibili con le condizioni imposte!
Equazioni in valore assoluto
In questo esercizio ho risolto un’equazione in valore assoluto (credo fosse durante un’esercitazione). Il metodo che ho utilizzato consiste nel risolvere l’equazione impostando due sistemi in cui considero le due eventualità: quantità in valore assoluto positiva e quantità in valore assoluto negativa. Il primo sistema è formato dalla condizione che la quantità in valore assoluto sia positiva e in questa ipotesi, nell’equazione, il valore assoluto si elimina lasciando invariata, dal punto di vista dei segni, la quantità che si trova all’interno di esso. Una volta risolte entrambe (disequazione ed equazione), si deve verificare se la soluzione dell’equazione è compatibile con le condizioni poste dalla disequazione (si vede insomma se è accettabile)
Equazioni irrazionali
La prima è un’equazione irrazionale in cui la radice ha indice dispari. Quando l’indice è dispari è decisamente più semplice risolvere l’equazione irrazionale. Infatti, una volta isolata la radice, basta elevare ambo i membri per l’indice di radice, senza imporre ALCUNA condizione, per poi risolvere l’equazione che ne consegue. La seconda invece è un’equazione irrazionale con indice pari e, una volta isolata la radice, occorre imporre le condizioni di realtà (radicando maggiore o uguale a zero) e le condizioni di positività (secondo membro maggiore di zero). Il sistema in basso a destra, rappresenta il sistema delle condizioni. Una volta elevato al quadrato ed eliminata la radice, ho risolto l’equazione che ha prodotto un’unica soluzione: x=5/2 che è accettabile in quanto maggiore di 2.
Sistemi lineari: Riduzione
Pagina-appunti scaturita da una lezione in cui ho spiegato il metodo di addizione e sottrazione, altrimenti detto metodo di “riduzione”. Si applica quando, sommando algebricamente membro a membro le equazioni di un sistema, si può eliminare una delle incognite. Quindi, è necessario che nelle due equazioni del sistema, una delle incognite abbia lo stesso coefficiente o coefficiente opposto (in modo tale che sommando o sottraendo questa incognita “se ne vada”). In realtà, si può applicare anche quando questa eventualità non si presenta. In questo caso, dobbiamo fare tutto noi. Moltiplicare una o entrambe le equazioni del sistema, per un fattore opportuno, in modo che ciò avvenga. Per altri esercizi svolti, sui sistemi di equazioni, clicca qui.
Sistemi lineari: Cramer
Spiegazione del metodo di Cramer, il mio preferito in assoluto. E’ un metodo molto pratico e comodo che facilita il raggiungimento della soluzione anche quando i coefficienti del sistema sono rappresentati da numeri grandi. Quello che ti raccomando è di rispettare le posizioni dei coefficienti. Una volta fatti tutti i calcoli, ricorda di fare le somme e scrivere per prima la x, poi la y e di portare i “numeri” senza la x al secondo membro. Presta attenzione anche quando costruisci i determinanti: la colonna dei termini noti si scrive al posto della colonna dell’incognita di cui stai trovando il determinante. Se stai trovando il determinante della x, i termini noti si scrivono nella prima colonna e i coefficienti della y nella seconda. . Se stai trovando il determinante della y, i termini noti si scrivono nella seconda colonna e i coefficienti della x nella prima! Attenzione! Per altri esercizi svolti sui sistemi di equazioni, clicca qui.
Equazioni di grado superiore al 2°
In questa pagina di appunti, è riportato uno schema per risolvere le equazioni di grado superiore al secondo: BINOMIE, BIQUADRATICHE E TRINOMIE. Ho riportato sia come riconoscerle che come risolverle. Le binomie e le biquadratiche si risolvono praticamente allo stesso modo, attraverso un’opportuna sostituzione.
Disequazioni di 2° grado
Qui sopra ho svolto un esercizio grazie al quale ho riepilogato il procedimento che consiglio di seguire per risolvere una disequazione di secondo grado. Bisogna prima di tutto risolvere l’equazione associata e poi occorre tracciare la parabola. Ricorda che la concavità e la convessità dipendono dal coefficiente del termine di secondo grado. Il metodo della parabola non è comunque l’unico metodo per risolvere una disequazione di secondo grado. Si può scomporre il polinomio di secondo grado che rappresenta la disequazione e studiare separatamente i singoli fattori (che saranno ovviamente due). Fatto ciò, si fa lo studio del segno come nelle disequazioni fratte.
Sistemi lineari: Sostituzione
Spiegazione del metodo di sostituzione per la soluzione di un sistema lineare in x e y (sistema a due incognite e due equazioni). Nel foglio di appunti, come puoi notare, è presente anche una piccola introduzione sui sistemi in genere. Risolvere un sistema, significa determinare la coppia di valori che soddisfa entrambe le equazioni. Alla fine c’è anche la verifica! (addirittura!). Una volta trovate le soluzioni del sistema, si possono sostituire i valori trovati di x e y nel sistema inziale. Se entrambe le sostituzioni portano ad una identità, significa che è tutto giusto: soluzioni e…verifica :-). Per altri esercizi svolti e spiegati sui sistemi di equazioni clicca qui.
Sistemi lineari: Confronto
Sarò sincero. Il metodo del confronto per risolvere un sistema lineare, è quello che mi piace meno. Lo trovo un surrogato del metodo di sostituzione. Dalla pagina qui sopra, si vede chiaramente che per applicare questo metodo, bisogna ricavare la stessa incognita da entrambe le equazioni e “confrontare” cioè uguagliare i risultati ottenuti (i secondi membri). Da questo confronto, si ricava una delle incognite. Tale valore, sostituito in una qualunque delle due equazioni iniziali, permette di ricavare anche l’altra incognita. Per altri esercizi svolti sui sistemi di equazioni, clicca qui.
Sistemi di grado superiore al 2°
Sistema di grado superiore al primo- parte 1 (per la precisione sistema di secondo grado). L’ho risolto in modo un pò particolare. Dopo aver svolto i calcoli nella seconda delle due equazioni del sistema, non mi sono ricavato subito una delle due incognite per poi sostituirla nella prima equazione (quella di primo grado), mi sono ricavato prima la quantità (x-2) che ho sostituito nella prima equazione e, visto che era presente (x-2)², l’ho perciò elevata al quadrato. Fatto ciò ho cominciato a svolgere i calcoli nella seconda equazione del sistema tralasciando momentaneamente la prima equazione.
Sistemi di grado superiore al 2°
In questo secondo foglio è presenta la parte 2 dell’esercizio precedente sui sistemi di grado superiore al primo. Ho continuato a fare i calcoli nella seconda equazione e sono arrivato ad avere un’equazione di secondo grado che mi ha permesso di determinare le due soluzioni dell’incognita y. Fatto ciò, ho sostituito (ad uno ad uno naturalmente) tali valori nella prima equazione (quella che avevo momentaneamente tralasciato) e mi sono determinato i due valori di x. Sistema di secondo grado risolto! Per altri esercizi svolti sui sistemi di grado superiore al primo, clicca qui.
Sistemi di disequazioni
Sistema di disequazioni di secondo grado con 3 disequazioni. le prime due di secondo grado, la terza di primo. Come vedi ho risolto separatamente le 3 disequazioni, come se fossero 3 esercizi diversi. Per risolvere le prime 2 disequazioni ho utilizzato il metodo della parabola. la prima è una disequazione di secondo grado completa, la seconda è incompleta (pura). la terza è una semplice disequazione di primo grado. Trovate le soluzioni delle singole disequazioni, ho tracciato il grafico del sistema ( a linea continua). La soluzione è data dagli intervalli in cui si sovrappongono3 linee (tante quante sono le disequazioni del sistema). Per altri esercizi svolti sui sistemi di disequazioni, clicca qui.
Sistemi a 3 incognite e 3 equazioni
Sistema di equazioni con 3 equazioni e 3 incognite. Per risolvere questo sistema ho applicato il metodo di Cramer. Il sistema era già in forma normale (non c’erano calcoli da fare). Attenzione! Per applicare il metodo di Cramer, è necessario, non solo che sia in forma normale, ma anche che sia “ordinato”. Al primo membro si scrivono prima i termini in x, poi quelli in y e infine quelli in z. Al secondo membro i termini noti (quelli senza nessuna incognita). Per altri esercizi svolti sui sistemi di equazioni con tre o più incognite, clicca qui.
Equazioni di 2° grado con prodotti
Negli esercizi qui sopra, ho risolto due equazioni di secondo grado. Prima di tutto ho svolto prodotti e prodotti notevoli, poi ho sommato i termini simili portando tutto al primo membro. Solo una volta fatti tutti i calcoli, ho potuto riconoscere il tipo di equazione di secondo grado e applicare il procedimento adeguato per risolverle. Nel primo caso avevamo un’equazione di secondo grado incompleta (spuria), nel secondo caso un’equazione di secondo grado incompleta (pura). Per altri esercizi svolti sulle equazioni di secondo grado, clicca qui.
Trasporto dentro e fuori radice
Esercizi sui radicali. Trasporto di un fattore dentro la radice e trasporto di un fattore fuori dalla radice. Quando si trasporta una quantità all’interno di una radice (fattore), bisogna elevarla per l’indice della radice. Questa quantità, che, ripeto, è un fattore, andrà a moltiplicare il radicando. Portare fuori dalla radice è un pò più complesso. La quantità da portare fuori deve avere un esponente maggiore o uguale all’indice di radice. Per sapere quali sono gli esponenti della quantità da portare fuori e quelli delle quantità che restano dentro, si fa la divisione tra gli esponenti del radicando e l’indice della radice. Il quoziente rappresenta l’esponente della quantità che si porta fuori dalla radice. Il resto invece, rappresenta l’esponente della quantità che RESTA dentro. Per altri esercizi svolti sui radicali, clicca qui.
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