Applicazioni del concetto di derivata: Esercizi svolti
Esercizio 4
Semplice esercizio sulla determinazione dell’equazione della retta tangente ad una curva in suo punto assegnato. In realtà, il testo ha assegnato solo l’ascissa del punto, ma trovare l’ordinata in questo caso è un gioco da ragazzi: basta sostituire l’ascissa al posto della x nell’equazione della funzione. Per trovare la retta tangente, si determina quindi il coefficiente angolare calcolando la derivata prima nel punto di tangenza. A tal proposito, ti ricordo che la derivata di senx è cosx. Trovato il valore di m (coefficiente angolare della tangente), si sostituisce, insieme alle coordinate del punto, nell’equazione del fascio di rette passanti per un punto e il problema è risolto
Esercizio 3
Esercizio 2
L’esercizio chiede di determinare l’equazione della retta tangente alla curva assegnata in un suo punto di ascissa -1. Spesso il testo fornisce, come in questo caso, solo l’ascissa del punto di tangenza. In altri casi invece, fornisce il punto completo. Quando abbiamo solo l’ascissa del punto, non c’è problema. Per trovare la sua ordinata infatti, basta sostituire tale ascissa al posto della x nella funzione assegnata (cosa che ho fatto in questo esercizio). Una volta determinata anche l’ordinata, il punto è “completo”. Si passa perciò a determinare il coefficiente angolare della retta tangente. Come? Calcolando la derivata prima della funzione in quel punto. Una volta fatto ciò, si sostituiscono le coordinate del punto e il coefficiente angolare appena trovato, nell’equazione del fascio di rette passanti per un punto e il problema è risolto. Se hai dei dubbi puoi consultare lo schema di questo modulo
Esercizio 1
In questo esercizio, il testo assegna sia l’equazione della curva che l’equazione della retta tangente a tale curva e chiede di determinare i punti in cui la retta tangente è parallela ad una retta assegnata. Il procedimento è lo stesso che si applica per determinare la retta tangente, solo che stavolta c’erano da determinare i punti di tangenza e non la retta tangente. Posta “a” l’ascissa generica del punto di tangenza, ho calcolato la derivata prima della funzione in tale punto e ho uguagliato la derivata prima calcolata nel punto al coefficiente angolare della retta parallela assegnata. Da questa uguaglianza, è scaturita un’equazione di secondo grado che mi ha permesso di determinare la “a” e quindi i due punti di tangenza
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