Asintoti: Esercizi svolti
Esercizio 4
Esercizio sulla ricerca degli asintoti di una funzione razionale fratta. Si può notare che il grado del denominatore è maggiore di quello del numeratore. In questo caso, una funzione razionale fratta, ammette SEMPRE come asintoto orizzontale l’asse x, ovvero la retta y=0 (come si può verificare dall’esercizio svolto). Il grado del denominatore, come detto è 2, quindi, se le soluzioni dell’equazione associata sono due (reali e distinte) è molto probabile che la funzione ammetta due asintoti verticali (in questo esempio è esattamente quello che succede)
Esercizio 3
Esercizio 2
L’esercizio chiede di determinare gli asintoti della funzione assegnata. Come al solito, bisogna determinare il campo di esistenza della funzione (parte tutto da lì) e calcolare i limiti agli estremi di tale campo di esistenza. Per prima cosa sono partito dagli estremi finiti del campo di esistenza, quelli da cui potrebbero scaturire gli asintoti verticali. Ti ricordo che, affinchè una funzione ammetta un asintoto verticale in un determinato punto, è necessario che il limite della funzione per x che tende a questo punto, sia uguale a + o – infinito. Questo è proprio ciò che si è verificato per x=-2 e per x=+2 che sono infatti due asintoti verticali della funzione. La funzione ammette anche un asintoto orizzontale. E’ la retta y=1. Affinchè una funzione ammetta un asintoto orizzontale, è necessario che il limite per x che tende a + o – infinito della funzione, sia uguale ad un valore finito, per esempio K. In questa ipotesi, la retta y=K rappresenta l’equazione dell’asintoto orizzontale. Nell’esempio infatti il limite per x che tende a ∓∞ della funzione è 1 per questo l’asintoto orizzontale ha equazione y=1
Esercizio 1
In questo esercizio il testo chiede di determinare l’asintoto obliquo (dando per scontato che ci sia). Per trovare l’asintoto obliquo di una funzione, occorre determinare la m e la q dell’equazione generica y=mx+q attraverso una formula (vedi esercizio). Una volta trovati tali valori, si sostituiscono in questa equazione e l’asintoto è determinato. Naturalmente i limiti che permettono di ricavare i valori dei parametri m e q devono essere finiti. Attenzione: una funzione può avere più asintoti verticali ma solo due asintoti orizzontali o due asintoti obliqui. Inoltre, se, per esempio, per x che tende a + infinito, esiste l’asintoto orizzontale, allora non esiste l’asintoto obliquo. Se una funzione non ha asintoti orizzontali, non è detto che abbia asintoti obliqui. Per la teoria e per una spiegazione più approfondita, ti consiglio di consultare lo schema relativo agli asintoti
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