Disequazioni di primo grado: esercizi svolti
Esercizio 5
Nelle disequazioni fratte, il mio consiglio è di studiare numeratore e denominatore separatamente imponendoli sempre maggiori di zero a prescindere dal segno che la disequazione richiede (in questo caso li chiedeva minori di zero). Quest’ultimo segno si prende in considerazione dopo il grafico (denominato “studio del segno”). In questo caso la disequazione chiedeva i valori maggiori o uguali a zero. Attenzione: i valori del denominatore non possono essere presi anche uguali a zero, perciò nel grafico, ho evidenziato con un puntino rosso, i valori del numeratore che invece possono essere presi uguali a zero.
Esercizio 4
In questo esercizio, ho risolto una disequazione di terzo grado, riconducendola, attraverso un’opportuna scomposizione, al prodotto di tre equazioni di primo grado. Così facendo, ho potuto studiarla prendendo in esame i singoli fattori e facendo lo studio del segno (come descritto nell’esercizio). La scomposizione l’ho eseguita mettendo in evidenza la x e poi scomponendo il trinomio notevole che ho ottenuto dentro le parentesi (somma prodotto). Tale trinomio, si scompone trovando due numeri la cui somma è -7 e il cui prodotto è +12, rispettivamente coefficiente della x e termine noto del trinomio. I numeri che soddisfano entrambe le relazioni sono -3 e -4 e li ho utilizzati per “creare” i due binomi con cui ho scritto il trinomio sotto forma di prodotto
Esercizio 3
Esercizio 2
Come puoi notare, il procedimento, fino ad un certo punto, è molto simile a quello di un’equazione di primo grado. Si svolgono infatti tutti i calcoli (prodotti, prodotti notevoli e somme) e poi si isola la x lasciandola o portandola al primo membro e scrivendo invece al secondo membro i coefficienti numerici. La differenza tra disequazioni ed equazioni è legata al fatto che non abbiamo il segno “uguale” ma il segno “maggiore o minore”. Questo implica che non è richiesto un valore unico che verifica l’uguaglianza come nelle equazioni di primo grado, ma un intervallo di valori che verificano la disuguaglianza (disequazione). Ricorda che se la x è negativa, è preferibile cambiare di segno primo e secondo membro. In questo caso non dimenticare che si cambia anche il verso!
Esercizio 1
In questo esercizio ci troviamo di fronte allo studio del segno tipico di tutte le disequazioni fratte. Questa disequazione fratta, tra l’altro, è anche particolare in quanto sono presenti anche dei prodotti sia al numeratore che al denominatore. Come vedi, ho studiato i singoli fattori ad uno ad uno e in un caso ho preferito cambiare il segno e quindi il verso. Mi riferisco all’ultimo fattore del denominatore: (x-6). In questo caso si è reso necessario non solo il cambio di verso ma ho anche dovuto posizionare i segni in modo inverso rispetto al solito: anziché i segni più a destra e i meno a sinistra, ho dovuto fare il contrario, i segni meno li ho scritti a destra e i segni più a sinistra del valore 6 nel grafico. Questo si DEVE fare ogni volta che decidi appunto di cambiare di segno l’incognita per renderla positiva (cambiando di segno primo e secondo membro). Le parti azzurrine del grafico evidenziano quali sono gli intervalli-soluzione della disequazione fratta assegnata.
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