Disequazioni di secondo grado: Esercizi svolti

Esercizio 6

Nel primo passaggio di questo esercizio sulle disequazioni di secondo grado ho svolto i due prodotti notevoli presenti. Una volta fatto ciò ho calcolato il minimo comune multiplo che poi ho eliminato. Come descritto nel testo stesso, ho portato tutto al primo membro e ho svolto l’equazione associata. Poichè questa equazione ammette due soluzioni reali e distinte (il delta infatti è maggiore di zero) e il coefficiente della x² è negativo, la parabola si traccia con la concavità verso il basso. Essa interseca l’asse x in due punti distinti. La disequazione iniziale chiede i valori negativi e per questo ho scelto gli intervalli x<1/3 e x>2, ovvero gli intervalli esterni. Per un ripasso sulle disequazioni di secondo grado, ti consiglio lo schema presente nel libro SCHEMI DI MATEMATICA BIENNIO

Esercizio 5

L’esercizio propone una disequazione fratta in cui sia al numeratore che al denominatore troviamo una disequazione di secondo grado. Come ben saprai, le disequazioni fratte si risolvono studiando separatamente numeratore e denominatore. Le due equazioni associate sono complete ma, mentre nella prima la “a” è positiva, nella seconda è negativa per cui le concavità sono, una rivolta verso l’alto e l’altra verso il basso. Questo determina anche i segni negli intervalli come descritto nell’esercizio stesso

Esercizio 4

Esercizio 3

Questa è una disequazione di secondo grado intera. Per risolverla ho uguagliato a zero e ho risolto l’equazione associata (equazione di secondo grado completa). Poichè la “a” è positiva e il delta pure, la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto e tocca in due punti distinti  l’asse delle x (punti che corrispondono alle soluzioni). Gli intervalli in cui la disequazione è positiva sono perciò quelli esterni, ovvero x<-3 e x>4

I miei libri

“SCHEMI DI MATEMATICA” per il biennio e per il triennio delle scuole superiori. Sono due testi molto bene organizzati, pratici, accessibili a tutti grazie al linguaggio semplice e diretto. Sono sicuro che saranno utili alleati in vista di verifiche, compiti in classe, test, esami o semplicemente per svolgere i compiti a casa. Per saperne di più, clicca QUI (Triennio) oppure QUI (Biennio)

Esercizio 2

In questo esercizio il testo chiede di determinare gli intervalli in cui l’equazione assegnata è maggiore o uguale a zero. Ho uguagliato a zero e ho determinato le soluzioni dell’equazione associata. Tale equazione è incompleta, spuria per la precisione. Quindi l’ho risolta come si risolvono le spurie, cioè mettendo in evidenza la x e applicando la legge di annullamento del prodotto. Attenzione alla parabola. La concavità è rivolta verso il basso in quanto la “a” è negativa. In questo caso i valori positivi (e di conseguenza la soluzione) si trovano tra i due valori che rappresentano le soluzioni dell’equazione associata (valori interni)

Esercizio 1

Questa è una disequazione fratta. Così come per quelle di primo grado, si studiano numeratore e denominatore separatamente imponendoli maggiori di zero, anche se la disequazione li richiede minori o uguali a zero. Quando si suddividono numeratore e denominatore per studiarli separatamente, secondo me conviene imporli sempre maggiori di zero indipendentemente da quale sia il verso della disequazione assegnata. In effetti il “segno finale”, sarà da cercare dopo aver fatto il grafico denominato “studio del segno”. Il numeratore è una disequazione di secondo grado incompleta, in questo caso “pura”. Si isola perciò la x e poi si estrae la radice da ambo i membri. Trovate le soluzioni si fa la parabola che ha la concavità rivolta verso l’alto. In  modo analogo si procede per il denominatore che però è una disequazione di secondo grado la cui equazione associata è completa. Fatte le due parabole e stabiliti i segni di numeratore e denominatore, questi si riportano sul grafico riassuntivo e si calcolano i segni “combinati”. La disequazione data è positiva laddove numeratore e denominatore sono concordi, negativa dove sono discordi. Ecco perché quando ho separato numeratore e denominatore ho imposto maggiore di zero, avrei potuto benissimo mettere minore di zero che non sarebbe cambiato nulla in quanto il segno è da stabilire adesso, dopo il grafico. Nota che le parabole sarebbero state le stesse! Poichè la disequazione chiedeva i valori minori o uguali a zero, prendo l’unico intervallo con il segno meno. Attenzione: mentre in corrispondenza del valore 2 si può mettere minore o uguale, la stessa cosa non si può fare per il valore 1 in quanto è del denominatore che, come si sa, non può essere uguale a zero.

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