Disequazioni goniometriche: Esercizi svolti
Esercizio 4

Disequazione goniometrica fratta. Si studiano numeratore e denominatore separatamente imponendo ciascuno maggiore di zero. Le due disequazioni che scaturiscono dal numeratore e dal denominatore, sono disequazioni goniometriche di primo grado, abbastanza facili da risolvere come puoi vedere dal prospetto. Ho preso i valori maggiori di 1/2 per la funzione seno del numeratore (quelli al di sopra di tale valore) e analogamente ho fatto per i valori maggiori di -1/2 del denominatore. Grazie all’utilizzo della circonferenza goniometrica ho individuato gli intervalli-soluzione e ho fatto lo studio del segno. Lo studio del segno poi mi ha permesso di individuare e scegliere gli intervalli con il segno positivo che era quello richiesto dalla disequazione iniziale. Missione compiuta!
Esercizio 3
Esercizio 2

In questo esercizio c’era da risolvere una disequazione goniometrica elementare di secondo grado con la funzione seno. Come vedi ho risolto l’equazione goniometrica associata e ho trovato le soluzioni. Una volta trovate le soluzioni, ho risolto la disequazione di secondo grado (se vuoi, aiutati con la parabola, io in questo caso ho scritto direttamente il risultato). Nelle disequazioni goniometriche è fondamentale, una volta trovati gli intervalli-soluzione della funzione seno, tracciare la circonferenza. Senza quest’ultima, stabilire gli intervalli che rappresentano la soluzione per la variabile x è davvero molto impegnativo. Esiste anche un altro metodo per risolvere le disequazioni goniometriche, quello della sinusoide, ma io preferisco questo con la circonferenza goniometrica. Io consiglio di tracciare sempre la circonferenza anche nel caso in cui si debba risolvere un’EQUAZIONE GONIOMETRICA, proprio per fare l’abitudine e utilizzarla al meglio anche e soprattutto quando si devono risolvere le disequazioni goniometriche.
Esercizio 1

L’esercizio chiede di risolvere una disequazione goniometrica omogenea di primo grado. Attenzione perché è un pò più ostico di quello che sembra. Come saprai (credo), per risolvere un’equazione goniometrica omogenea, occorre dividere tutto per senx o per cosx elevati il grado dell’equazione (in questo caso il grado è 1). Nelle disequazioni non basta. Perchè? Perchè, in pratica, è come se si fosse introdotto un denominatore e quindi, come in tutte le disequazioni fratte, occorre fare lo studio del segno (numeratore e denominatore separatamente per poi fare il grafico). Oppure, come vedi dall’esempio, possiamo pensare che l’equazione in funzione della tangente, si ottiene moltiplicando e dividendo tutto per cosx. Poichè anche nei prodotti si deve fare lo studio del segno, li ho appunto studiati separatamente. Insomma, che tu la interpreti in un modo o nell’altro…sempre lo studio del segno devi fare! Questo non vale se la disequazione è di grado pari. Poichè una potenza che ha come esponente un numero pari è sempre positiva, ecco che diventa ininfluente ai fini del segno e quindi si può trascurare. Spero di essere stato chiaro! Riprendendo l’esercizio, come vedi ho studiato separatamente i due fattori e ho fatto lo studio del segno. Tale grafico, aiuta a individuare gli intervalli di positività e di negatività. Poichè erano richiesti i valori negativi, ho scelto gli intervalli del grafico che presentavano il segno meno (quelli colorati)
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