Frazioni algebriche: Esercizi svolti
Esercizio 5
In questo esercizio sono presenti una somma tra frazioni algebriche e una moltiplicazione, sempre tra frazioni algebriche. Poichè sono presenti due parentesi tonde, si devono svolgere i calcoli prima all’interno di queste ultime per poi procedere alla moltiplicazione tra le frazioni ottenute. In questo esempio, come scomposizioni, troviamo solo trinomi di secondo grado (trinomio notevole). Come si procede? Prendiamo come esempio l’ultimo denominatore dell’espressione tra parentesi. Bisogna trovare due numeri che moltiplicati tra loro diano -6 e la cui somma dia +1 (-6=termine noto, +1=coefficiente della x). Una volta trovati questi due numeri (-2 e +3) si scrive come risultato, il prodotto di due binomi di primo grado i cui termini noti sono proprio questi due numeri. Quindi a²+a-6=(a-2)(a+3)
Esercizio 4
Esercizio direi abbastanza semplice sulla semplificazione di una frazione algebrica. Bisogna scomporre numeratore e denominatore per cercare di semplificare (come riportato nell’esercizio stesso). Al numeratore, ho prima messo in evidenza (raccoglimento totale) e poi ho scomposto il trinomio di secondo grado o trinomio notevole che ho trovato dentro le parentesi. Ti ricordo che, per scomporre quest’ultimo, si devono trovare due numeri il cui prodotto è il termine noto del trinomio e la cui somma è data dal coefficiente della x del trinomio. Una volta trovati, i numeri rappresentano i termini noti dei due binomi di primo grado con cui viene scomposto il trinomio. Per quanto riguarda il denominatore, ti voglio evidenziare il fatto che nel raccoglimento parziale, ho messo in evidenza il -1. Questo ha fatto sì che le quantità dentro le parentesi tonde fossero uguali e quindi ho potuto mettere ulteriormente in evidenza (questa volta ho messo in evidenza la quantità x-3). Dopo il raccoglimento parziale, ho applicato la differenza di quadrati al primo binomio (la differenza di due quadrati è uguale alla somma per la differenza delle loro basi).
Esercizio 3
Esercizio 2
In questo esercizio, come puoi notare, la parte preponderante è dentro le parentesi quadre. All’interno di queste ultime devi fare la somma algebrica di tre frazioni. Devi quindi procedere eseguendo prima le scomposizioni dei denominatori e poi calcolando il minimo comune multiplo. Le scomposizioni sono piuttosto semplici: a parte il primo denominatore che è già scomposto, gli altri due sono raccoglimenti totali. Nel terzo denominatore poi, una volta fatto il raccoglimento totale, si manifesta anche una differenza tra due quadrati. Finiti i calcoli dentro le parentesi quadre, puoi procedere con la moltiplicazione tra il risultato ottenuto e la frazione che si trova all’esterno delle suddette parentesi. Ricorda che, a differenza delle somme tra frazioni algebriche in cui generalmente conviene scomporre solo il denominatore, nelle moltiplicazioni e divisioni tra frazioni algebriche, è conveniente scomporre sia il numeratore che il denominatore (sempre!).
Esercizio 1
il “grosso” dell’esercizio è racchiuso nelle prime due parentesi. All’interno di queste parentesi bisogna fare una divisione e una somma algebrica tra frazioni. Allora ricorda che prima si fanno le moltiplicazioni e le divisioni e poi si procede con la somma algebrica. Come già ricordato più volte, nelle divisioni e nelle moltiplicazioni si devono scomporre sia il numeratore che il denominatore per capire se qualcosa si può semplificare (cosa che avviene in questo esercizio). Attenzione anche al cambio di segno. Nella seconda frazione, dentro le parentesi, ho cambiato di segno per far si che le quantità diventassero uguali a quelle della prima frazione per fare poi le dovute semplificazioni. Infine, finiti i calcoli dentro le tonde (che in verità nel secondo passaggio sono diventate parentesi quadre) devi fare prima la moltiplicazione con la frazione esterna per poi sommare il risultato al -1 che si trova come ultimo termine dell’espressione. Non fare come fa qualcuno che fa prima la somma tra la frazione fuori dalle parentesi con il -1 e poi fa la moltiplicazione: è profondamente sbagliato! Infatti si fanno SEMPRE, te lo ripeto, prima le moltiplicazioni e le divisioni e poi le somme algebriche.
Ps. Ma tu ce l’hai presente la differenza tra SCOMPOSIZIONE e SEMPLIFICAZIONE? Sappi che qualcuno che non ce l’ha presente…
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