Equazioni esponenziali: Esercizi svolti
Esercizio 4
In questo esercizio, per risolvere l’equazione esponenziale assegnata, ho applicato le proprietà delle potenze e trasformato la radice scrivendola sotto forma di potenza di un numero. Una radice infatti, si può sempre scrivere come potenza di un numero la cui base è il radicando e il cui esponente è una frazione al cui numeratore è presente l’esponente del radicando e al denominatore l’indice della radice stessa. Questa trasformazione, l’applicazione delle proprietà delle potenze (e anche la scomposizione di alcune basi delle potenze), mi ha permesso di avere due potenze con stessa base nei due membri. Ho quindi potuto “eliminare” tali basi ed uguagliare gli esponenti. L’equazione, da trascendente a equazione razionale di primo grado (le equazioni esponenziali fanno parte della famiglia delle equazioni trascendenti).
Esercizio 3
Esercizio 2
Questa equazione esponenziale si risolve attraverso una sostituzione opportuna (come puoi vedere ci sono le spiegazioni passo per passo). Che si debba applicare il metodo della sostituzione, lo si capisce subito perchè è presente una somma algebrica di potenze. Solitamente, si può applicare il metodo delle proprietà delle potenze quando sono presenti prodotti o quozienti. Fai attenzione: in alcuni casi, prima di capire quale sostituzione effettuare sono necessari alcuni passaggi. La sostituzione ha portato ad un’equazione di secondo grado in y. Una volta trovate le soluzioni, cioè i due valori di y (in questo caso 2) si torna alla sostituzione iniziale per ricavare anche la x
Esercizio 1
Questo esercizio presenta un’equazione esponenziale risolvibile attraverso una sostituzione. In questo caso sono stati necessari alcuni passaggi per capire quale fosse la sostituzione opportuna. Una volta fatta tale sostituzione, si è pervenuti ad un’equazione di secondo grado che ha permesso di ricavare prima la y e poi la x. Come sicuramente avrai notato, ho applicato le proprietà delle potenze al “contrario” rispetto a quanto avviene di solito. Infatti, le potenze che contengono una somma nel loro esponente, le ho scritte come prodotto tra potenze aventi la stessa base i cui esponenti sono gli addendi di tale somma. Questo mi ha permesso di individuare la giusta sostituzione da effettuare.
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