Limiti: definizione e concetto. Esercizi svolti

Esercizio 4

Affinchè il limite della funzione assegnata diverga a +infinito, per x che tende a 0 da destra, è necessario che la funzione sia maggiore di un numero grande quanto si vuole che, nell’esempio, è stato indicato con M. Imponendo questa condizione e risolvendo la disequazione che ne consegue, si può verificare che essa, effettivamente, è verificata in un intorno destro di zero. Il limite è quindi verificato.

Esercizio 3

Esercizio 2

Diciamolo, la verifica di un limite è piuttosto ostica. Già il concetto non è facilmente digeribile. E’ vero però che, come succede per tanti argomenti della matematica, una volta entrati nel meccanismo, studiando ed esercitandosi, si arriva alla completa comprensione anche di questa parte del programma di matematica di quinta (i limiti e la loro verifica). In questo caso, bisogna verificare che il limite per x che tende a 1 da destra della funzione assegnata tende a +infinito. Consultando lo schema nella sezione dedicata, potrai vedere che per qualunque tipo di limite, c’è una condizione da imporre. La condizione dipende sempre dal valore a cui tende la x e dal risultato del limite (ai fini della verifica). In questo caso, se la funzione tende a + infinito, deve essere maggiore di un numero grande quanto si vuole (M). Risolvendo la disequazione fratta che ne deriva, si può constatare che essa tende a +infinito, proprio in un intorno destro di 1. 

Esercizio 1

Nell’esercizio 2, la funzione tende ad un valore finito e il risultato è un valore infinito. Precisamente, la x tende a 1 da destra e il risultato è + infinito. In questo caso invece, la x tende ad un valore finito e il risultato è, pure quello, finito. Come vedi, si deve imporre che la funzione, in valore assoluto, sia minore di un numero ε (eipsilon) piccolo quanto si vuole. Anche in questo caso, puoi riscontrare che il risultato della disequazione che ne consegue ci porta in un intorno di 2 che verifica il limite. Il fatto che tale disequazione sia verificata anche in un intorno di -2, ci porta ad affermare che anche il limite per x che tende a -2 della funzione ha come limite 0. Questo lo puoi facilmente verificare, calcolando il limite,  sostituendo cioè alla x della funzione, il valore -2. 

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