Flessi e concavità: Esercizi svolti
Esercizio 5
In questo esercizio abbiamo una funzione logaritmica, anzi una funzione “mista” costituita appunto da una parte trascendente (logaritmo) e da una parte razionale. Come spiegato nell’esercizio, bisogna innanzitutto calcolare il Campo di Esistenza della funzione, cosa che ho fatto. la condizione x>0 derivante appunto dal campo di esistenza (l’argomento di un logaritmo deve essere positivo), mi ha permesso di capire che uno dei due valori che ho trovato uguagliando a 0 la derivata seconda, non era accettabile. Fatto lo studio del segno della derivata seconda e appurato che in corrispondenza di x=1/2 si ha un cambiamento di concavità (o convessità se preferisci), ho potuto concludere che x=1/2 è l’ascissa di un punto di flesso. Trovata l’ascissa l’ho sostituita alla x della funzione assegnata e ho trovato così anche l’ordinata del punto di flesso. Nota bene: il logaritmo di 1 è uguale a 0, per questo l’ho eliminato!
Esercizio 4
L’esercizio chiede di determinare i punti di flesso di una funzione goniometrica. Per determinare i flessi, bisogna calcolare la derivata seconda uguale a zero, determinare le ascisse dei possibili punti di flesso e poi studiare il segno della derivata seconda per determinare dove la funzione è concava e dove è convessa. In realtà, questo non è l’unico metodo per determinare i flessi di una funzione. Come puoi facilmente verificare, ho applicato il metodo delle derivate successive. In questo caso ho calcolato la derivata terza. Se la derivata terza calcolata in un possibile flesso è diversa da zero, significa che quel punto è effettivamente un punto di flesso.
Esercizio 3
Esercizio 2
E’ data una funzione razionale intera della quale si chiede di determinare, se esistono, i punti di flesso. Per determinarli, anzi per determinarlo, visto che ho trovato un solo punto di flesso, ho calcolato la derivata seconda e l’ho prima uguagliata a zero e poi ho studiato il suo segno imponendola maggiore di zero. In questo modo, ho potuto verificare la presenza di un punto di flesso in corrispondenza di x=-2/3. Tale punto, in base allo studio del segno della derivata seconda, determina un cambiamento di concavità. Ricorda che, come avviene per i massimi e minimi relativi, una volta trovate le ascisse dei punti di flesso, occorre sostituirle nella funzione inziale, al posto della x ovviamente, per determinare le ordinate dei suddetti punti di flesso
Esercizio 1
La funzione della quale si chiede di determinare i punti di flesso, in questo esercizio, è una funzione trigonometrica. Ho determinato quindi le ascisse dei punti di flesso, imponendo la derivata seconda uguale a zero. Per stabilire se i punti che annullano la derivata seconda, siano effettivamente dei punti di flesso, ho applicato il metodo delle derivate successive. Affinchè si abbia un flesso, la derivata terza, calcolata in quel punto, deve essere diversa da zero.
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