Sistemi lineari a 2 incognite: Esercizi svolti
Esercizio 4
In questo esercizio, prima di giungere alla forma base e scegliere il metodo con cui risolvere il sistema, occorre svolgere alcuni alcoli come i prodotti notevoli e le somme di monomi simili. Una volta giunti alla forma base, ho applicato il metodo del confronto, metodo che, del resto, è imposto dal testo. Ti ricordo che, nel metodo di confronto, devi ricavare da entrambe le equazioni, la stessa incognita. Nell’esercizio, ho ricavato la y
Esercizio 3
Esercizio 2
In questo esercizio ho applicato il classico metodo di “sostituzione”. Pur non essendo necessariamente il metodo più conveniente è sicuramente quello più utilizzato. Come puoi notare ho ricavato la x dalla prima equazione e ho sostituito il valore ottenuto nella seconda equazione (questo valore della x è naturalmente “provvisorio” in quanto non è stato ancora determinato il suo valore numerico ma il suo valore in funzione di y). Questo ha permesso di ricavare il valore numerico (definitivo) della y. Questo valore, sostituito a sua volta nella prima equazione, ha invece consentito di ricavare il valore numerico della x (quello definitivo). Ricorda sempre che la soluzione di un sistema lineare di due equazioni in due incognite, è rappresentata dalla coppia di valori delle incognite che verificano entrambe le equazioni. Se il sistema è determinato, questa coppia è unica. Se il sistema è impossibile, significa che non esiste nemmeno una coppia in grado di soddisfare entrambe le equazioni. Infine se il sistema è indeterminato, significa che esistono infinite coppie in grado di soddisfare entrambe le equazioni.
Esercizio 1
In questo esercizio, prima di scegliere quale metodo applicare, ho svolto i calcoli. Questo mi ha permesso di portare il sistema in forma normale. Solo quando il sistema è in forma normale posso decidere quale metodo applicare tra: sostituzione, riduzione (detto anche “addizione e sottrazione”), confronto o Cramer. Naturalmente la scelta dipende dai coefficienti del sistema. Per esempio in questo caso conveniva applicare riduzione in quanto sommando membro a membro le due equazioni, ho potuto eliminare subito la x. Questo mi ha permesso di trovare il valore della y. A questo punto avrei potuto sostituire questo valore in una delle due equazioni per determinare anche il valore di x, ma ho preferito applicare nuovamente il metodo “addizione e sottrazione”. In questo caso però, per poter eliminare la y e quindi ricavare la x, ho dovuto moltiplicare la seconda equazione del sistema per 6 e la prima equazione del sistema per -1. In questo modo, i coefficienti della y nelle due equazioni sono diventati opposti e, sommando membro a membro, ho potuto eliminarla (ricavando come anticipato la x). Attenzione: quanto moltiplichi una riga di un sistema per un numero devi moltiplicare TUTTI i termini dell’equazione, sia quelli al primo membro che quelli al secondo membro. Naturalmente, se avessi applicato il metodo di Cramer o il metodo del confronto, sarei arrivato alla stessa soluzione. Lo so, può sembrare ovvio, ma talvolta mi è capitato di doverlo specificare per cui l’ho fatto anche qui. Un’ultima cosa. E’ vero che si chiama metodo di “addizione e sottrazione” e che quindi sei libero di sommare o sottrarre membro a membro le due equazioni, però io ti consiglio di fare in modo di fare sempre addizione. Ti consiglio di moltiplicare opportunamente le due equazioni del sistema in modo da avere coefficienti opposti. Questo perché, se decidi di sottrarre membro a membro, ti devi ricordare di cambiare di segno TUTTI i termini della seconda equazione. Purtroppo, spesso, mi è capitato di vedere molti errori per colpa di un cambio di segno “parziale”. Spero di esser stato chiaro.
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